ヤコビ法 n行の行列 $$, 空間微分に関する偏微分を既知の値(時刻n)と1ステップ後の未知の値(時刻n+1)の平均とする手法。名前にも入っている通り、次の時刻n+1の値を予測するのに次の時刻n+1の値も用いる陰解法です。詳細は後述する。 $$ $$ という表示が出て答えが求まっていることが確認できる。, 行列Aが(狭義行の)対角優位性を満たさなければ、Jacobi法(とGauss・Seidel法)は収束しません。(狭義行の)対角優位性が何かを簡単に述べると、対角成分は同じ行の他の成分の絶対値の和よりも大きいことを言います。上の練習問題で、対角項以外の成分を大きくして遊んでみてください。, $$ x_i^{(m+1)} = x_i^{(m)} + \omega \frac{1}{a_{ii}}\left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(m+1)} - \sum_{j=i}^{n} a_{ij} x_j^{(m)} \right) d \leq \frac{1}{2} \quad or \quad \Delta t \leq \frac{(\Delta x)^2}{2 \kappa} $$, m+1反復目のi行目の推定解$x_i^{(m+1)}$を求める際に、既知の推定解$x_i^{(m)}$と既に計算されているm+1反復目の推定解$x_{0}^{(m+1)},\cdots, x_{i-1}^{(m+1)}$を用いて計算する手法。基本的にヤコビ法よりも収束計算が早く終わる。 n行の行列 $$ という形に変形し、rが十分小さくなるまで推定値$x'$を反復的に変化させていき、厳密解$x^*=A^{-1}b$の近似解を求める手法が反復法です。反復法は定常法と非定常法(Krylov部分空間法)の二つに分けることができます。, 定常法(定常反復法)とは、反復計算中解ベクトルx以外は変化しない手法のことです。概して遅いので、数値計算をする際には後述する非定常法を用いるか、非定常法の前処理(おおよその近似解を見つけるために行う処理)として併用するかのどっちかの方法をとると思います。, 代表的な手法としては以下の3つが挙げられる。以下では、m回の反復における解の推定値を$x^{(m)}$として表すこととし、m反復目の推定値$x^{(m)}$が既知としてm+1反復目の推定値$x^{(m+1)}$を求める計算例を示します。, m+1反復目のi行目の推定解$x_i^{(m+1)}$を求める際に、既知の推定解$x_i^{(m)}$のみを用いて計算する手法。 x_i^{(m+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(m+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(m)} \right) となります。拡散というのは無秩序に一様化することを表すので、$T_j^n$の係数$(1-2d)$がマイナスになると、j番目の格子が持っている物理量以上を隣に受け渡していることになるため、$d\leq0.5$である必要があります。, わかりにくいと思うので、下記のお金の例で説明します(あくまでイメージを持つための例です)。N人のグループがあるとして、ある時刻nにj-1番目の人が30円、j番目の人が100円、そしてj+1番目の人が50円持っていることとします。拡散というのはこのN人の人たちが同じ金額を持つようにする操作(一様化)なので、同じ金額になるまで隣の人たちとある一定の割合のお金を交換し続けます。中心差分の式をよく見ると、この一定の割合が拡散数dです。そのため、d=0.1に設定して計算すると、1時刻後のn+1時刻にはj番目の人は88円を持っていることになります。このように考えると、拡散数dが1/2より大きい数を有してはいけないことが簡単にわかると思います。, 格子幅$\Delta x$、熱伝導係数$\kappa$、時間刻み幅$\Delta t$は全て定数として計算する。今回は、$\Delta x=1$,$\Delta t=0.2$,$\kappa=0.5$とし、拡散数$d=0.1$で安定条件下で計算する。, $$ 初心者向けにPythonで連立方程式を解く方法について現役エンジニアが解説しています。連立方程式とは二つ以上の方程式を組にしたもので、未知数を解と呼びます。代入法や行列、numpyやsympyを使ってPythonで連立方程式を解く方法を解説します。 詳しい説明はこちら, 必要なパラメータは初期値(解の近傍がよい)、微小区間の幅です。 Pythonでざっくりと数値解析の基礎をしてみるシリーズの2つ目です。 )_, では、解くべき方程式がわかったところで、(3)(4)(8.1)(8.2)を離散化して数値計算ができる状態にします。, ポアソン方程式の解く部分は結構煩雑なので、まずは\(b^{n}_{ij}\)に関しては以下のように関数にまとめておきます。, 小難しい余計なことが書いていないし、年末の一週間くらいで読むことができたので、初心者の方にはとてもお勧めです。, 今回は「nit = 50」として、50回反復計算したら収束している(であろう)として、ポアソン方程式から圧力を求めています。, 【第16回Python流体の数値計算】2次元キャビティ流れをPythonで実装する。, 【第15回Python流体の数値計算】2次元ポアソン方程式をPythonで実装する。, 【第14回Python流体の数値計算】2次元ラプラス方程式をPythonで実装する。, 大学学部レベルの物理の解説をします 大学初学者で物理にお困りの方にわかりやすく解説します。, \(\frac{\partial p}{\partial y}=0\) at \(y=0\), \(\frac{\partial p}{\partial x}=0\) at \(x=0,2\). ¨, 円周率: 小数点以下 1000000 桁 (Python による可視化例付き), Python NumPy サンプルコード: ヤコビ法, ゼロから徹底的に学ぶプログラミング言語 Python 3. 1つ目の方はfor文をどうにかできないか、悩みどころです。 Why not register and get more from Qiita?   前回の記事で説明した一次精度風上差分を二回行うと導出できます。現在時刻nのデータのみで次の時刻n+1の値を予測する陽解法の一種です。 \frac{T_j^{n+1} - T_j^n}{\Delta t} = \frac{\kappa}{2} \left(\frac{T_{j+1}^n - 2 T_j^n + T_{j-1}^n }{\Delta x^2} + \frac{T_{j+1}^{n+1} - 2 T_j^{n+1} + T_{j-1}^{n+1} }{\Delta x^2}\right) n行の行列 $$, という式で表されます。物理的な意味としては、物理量が無秩序に一様化することを表しています。熱伝導や、熱だけでなく物質の拡散などを意味します。例えば、コーヒーにミルクを入れた場合、かき混ぜなくてもじわっと広がる現象や、以下の図のように金属製の棒の端を沸騰している鍋の中に入れたらじわじわと棒全体がお湯と同じ温度になる現象などが拡散に相当します。, この一次元拡散方程式を離散化する手法としては、陽解法である中心差分法と陰解法のクランク・ニコルソンの陰解法などがあります。おさらいになりますが、陽解法は現在時刻の既知の値をベースに一時刻後の未来の値を予測し、陰解法は一時刻後の未来の値も用いてその値を予測することです。この二つを実装していきます。それぞれを差分式で書き下すと以下のようになります。, 中心差分 n×mの行列 $$, SOR(Successive Over-Relaxation)法 / 逐次加速緩和法, Gauss-Seidel法に緩和係数$\omega$を加えたもの。緩和係数$\omega=1$のときはガウス・ザイデル法になります。また、1以下だとガウス・ザイデルより収束が遅いが、ガウス・ザイデル法では解けないような問題も解ける。基本的には、1以上の値に設定するが、あまりに大きくしすぎると発散するので適切な値を選ぶのが大切。1.9とかが選ばれることが多いらしい。

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