\begin{array}{cc} = \end{array} \] 1 & 0 & -1 & 0 \\ \] \begin{array}{cc} と表現できるとする.右辺を計算すると -5 & 0 &2 \\ \end{array} \begin{array}{c|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ を $M$ の $A$ に関する Schur補行列 という., 行列 $D$ が正則であるとき,行列 -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \right]^{-1} = \left[ C&D C&D \begin{array}{cc} 行基本変形を適用して左半分を $I$ にするのが目標。まず一列目を見て,1行目の2倍を2行目に加える: \right]\left[ 4×4行列の逆行列の公式. \right]\\ \] $A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}-2&-3&1\\2&1&1\\-4&-2&2\end{pmatrix}$, どちらの方法にせよ計算ミスしやすいので,必ず検算しましょう($A$ と $A^{-1}$ の積が単位行列になっていることを確認!), 4×4以上だと余因子による方法はかなり厳しいです。掃き出し法をマスターしてください。. \[ を $M$ の $D$ に関する Schur補行列 という., 正則行列 $M$ を次のようにブロック分割する: P(E + QP) = P + PQP = (E + PQ)P \[ ただし,行列 $D$ が正方行列となるように分割した.行列 $A$ および $D$ が正則であり,$A, \, D$ に関するSchur補行列 \begin{array}{cc} \end{array} \] \right] \] About; Mathematics; 2017年5月17日 逆行列の公式. \begin{array}{rrrr} \end{align*} \right] (A + BDC)^{-1} \[ \], $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$,$Q \in \mathbb{C}^{m \times n}$,$R \in \mathbb{C}^{n \times m}$,$S \in \mathbb{C}^{n \times n}$ に対して, \[ \begin{array}{cc} \end{array} \begin{array}{cc} の逆行列を 複素数が実装されていない計算機 を用いて求める., $Q$ を実部と虚部に分解すると \frac{1}{4}\left[ \] AC-BD & -AD-BC \\ \hline &= \left[ Excelのワークシート関数で逆行列を求めるものは MINVERSE(元の行列の範囲) なので,これを利用する., (i) 分母が3桁までの分数になるときは,下記のように分数で表示することができる.このとき,負の分数は帯分数として表示され,整数部分にのみ符号が付けられる.例 -3 1/3 = -10/3 のこと, (ii) 元の行列の各成分が整数であるのに,分母が4桁以上の分数になるようなときは,後に述べるように逆行列の計算において, (各成分が数値として与えられた行列の行列式を求めるには1)のExcelによる方法で十分である., 質問1 AA_~=Aの行列式としていますが、余因子行列とは、のところで、なぜ、A_~Aの順でかけているんでしょうか? \right] \begin{array}{cc} A&B\\ \right] \begin{array}{cc} \left[ 1&-2&-2\\ \right]^{-1} 1 & i & -1 & -i \\ \[ \end{array} が成り立つ., \[ \left[ 1 & 0 & -1 & 0& 0 & -1 & 0 & 1 同様に,三列目(の第3成分以外)に $0$ を並べるように操作3を行う: に対して \[ -1 & 1 & -1 & 1 \\ C & -D \\ \hline \[ \right] \textrm{rank}(PQ) \leqq \textrm{min}\bigl(\textrm{rank}(P), \textrm{rank}(Q)\bigr) \leqq n < m 0 & 0 & 1 & c \\ \end{array} \end{array} \right] \left[ \[ \end{array} \begin{array}{cc} \right] A^{-1} + A^{-1}BS_A^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS_A^{-1}\\ \end{array} \end{array} A & -B \\ \hline \left[ \right] \textrm{Rot}(x, \theta) = \left[ 3 & 2 & 0 \\ S_A = D-CA^{-1}B, \quad S_D = A-BD^{-1}C &= \frac{1}{4}\left[ 以下,一般の の正方行列の逆行列を求める二通りの方法を解説します(具体例は3×3の場合のみ)。 単位行列を とします。 行基本変形とは以下の三つの操作です。 操作1:ある行を定数倍する 操作2:二つの行を交換する 操作3:ある行の定数倍を別の行に加える 掃き出し法を実際にやってみます! 行基本変形を適用して左半分を にするのが目標。まず一列目を見て,1行目の2倍を2行目に加える: 次に,二列目(の第2成分以外)に を並べるように操作3を行う: 同様に,三列目(の第3成分以外)に 0 を並 … \begin{align*} 0 \\ Q^{-1} & O \\ O & R^{-1} A&B\\ \right] \[ \right] E & O \\ -CA^{-1} & E 1 & 1 & 1 & 1 \\ E & P \\ O & E が成り立つ., $m > n$ であるとき S_D^{-1} = \left[ \right] = \] \end{array} A^{-1} & O \\ O & S_A^{-1} O_{n,m} & E_n \[ \textrm{Trans}(a,b,c) = \left[ \right]. \left[ \right] = E_{2n} \end{array} -1 & 3 \right]\left[ -S_D^{-1}BD^{-1} = -\left[ \[ \begin{array}{cc} \] \end{array} \right] \end{array} \right] \\ \end{array} \begin{array}{cc} \end{array} A & O_{m,n}\\ \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} \[ E & O \\ P & E \begin{array}{cc} 0 \\ \left[ \begin{array}{cc} A&B\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \begin{array}{cc} \left[ &= A^{-1}-A^{-1}BDCA^{-1}(E_n + BDCA^{-1})^{-1} \\ \end{array} \left[ \end{array} 余因子は \right] + \frac{i}{4} \left[ も正則であるとき 0 & 0 & 0 & 0 \\ R & S \right] Q = \left[ 1 & -2 \\ \] \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} \begin{array}{c} \] \] \right] S_D = A-BD^{-1}C S_A = D-CA^{-1}B \end{array} A&B\\ \left[ \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} ・逆行列が常に存在するわけではなく、行列式=0の時は存在しない ・3×3以上のサイズの逆行列を求める際には『掃き出し法』を使う ・次回は、今回までの知識を使って「一次変換」と言われる分野を初めから見ていきます。 D & C Q = \left[ \], $4$ 次正方行列 \left[ O_{n,m} & B^{-1} \begin{array}{c|c} \end{array} A & B \\ C & D AP = E_m, \quad BS = E_n , \quad AQ = O_{m,n}, \quad BR = O_{n,m} \right] \right] \[ \end{array} \] $$, となるから,両辺の実部と虚部を比較して P + AR & Q + AS\\ 2 AP & AQ\\ &= \biggl(\bigl((E_m + DCA^{-1}B)^{-1}D\bigr)^{-1}\biggr)^{-1} \\ i & -1 & -i & 1 B & A $$, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 体 $K$ 上の $m \times n$ 行列を $K^{m \times n}$ で表す.ここでは $K = \mathbb{R}$ または $K = \mathbb{C}$ を考える., $E_n$ を $n$ 次の単位行列とする.特にサイズが明らかな場合は $n$ を省略して,単に $E$ と表記する., $O_{m,n}$ を $m \times n$ 零行列とする.$m = n$ である場合は $O_m$ と表記する.. P+AR = E_m, \quad S = E_n , \quad Q + AS = O_{m,n}, \quad R = O_{n,m} \right] \left[ \] \right] &= \bigl(A(E_n + A^{-1}BDC)\bigr)^{-1} \\ \left[ M = \left[ \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} E & -A^{-1}B \\ O & E \end{array} $$, 同次座標を用いた $3$ 次元空間の($x$軸周りの)$\theta$ 回転行列 ただし. \right]^{-1} = \left[ R & S \right] DCA^{-1}(E_n + BDCA^{-1})^{-1} = (E_m + DCA^{-1}B)^{-1}DCA^{-1} \right] E_m = P + AR = P -1 & 3 A & E_m \end{array} -1 & 0 & 1 & 0 \\ = 3 & 2 \\ \right]^{-1} D^{-1} + D^{-1}CS_D^{-1}BD^{-1}=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left[ \right] \] (A + \boldsymbol{u} \, {}^{t}\!\boldsymbol{v})^{-1} = A^{-1}-\frac{1}{1 + {}^{t}\!\boldsymbol{v} A^{-1} \boldsymbol{u}} A^{-1} \boldsymbol{u} \, {}^{t}\!\boldsymbol{v} A^{-1} \begin{array}{cc} &= \biggl(D^{-1}(E_m + DCA^{-1}B)\biggr)^{-1} \\ \end{array} = \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 $A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}-2&-3&1\\2&1&1\\-4&-2&2\end{pmatrix}$, ※2018/7/19 余因子の定義が間違っておりました,ご指摘ありがとうございましたm(_ _)m. © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. のときAの逆行列が存在して. \right] 0 & 0 & 0 & 0 \\ \left[ \end{array} \right] \[ A&B\\ A&B\\ E_m & A\\ \begin{array}{cc} \], \[ \begin{array}{cc} &= である., $3$ 次正方行列 &= MM^{-1} = (A + iB)(C + iD) \\ \end{array} \] \left(-\frac{1}{2}\right) \] \end{array} \left[ \right] \], Theorem 9-a と 9-b において,行列 $M$ の分割を同じに設定したとすれば,各ブロックに等号が成立する.例えば, \[ \begin{array}{c|c} A^{-1} & O_{m,n}\\ \begin{align*} \right], \end{array} \right] \begin{array}{cc} \] \end{array} \left[ \] \begin{array}{rrrr} -A & E_m \left[ P & Q\\ \end{array} \begin{array}{cc} 操作2:二つの行を交換する \[ = -5 \], $$ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \left[ \] \right] 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ C&D \[ \left[ 1 & 1 & 1 & 1 \begin{array}{cc} \[ \end{array} \begin{array}{cc} 0 & -1 & 0 & 1& -1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \right]^{-1} \\ で考えているが,実は $AB = E$ または $BA = E$ のどちらかが成り立てばもう一方も成り立つことが知られている(齋藤先生の「線形代数入門」など)から,片側のみ調べることにする., $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ に対して次が成り立つ:, \[ $$, $P \in \mathbb{C}^{m \times n}$,$Q \in \mathbb{C}^{n \times m}$ に対して,行列 $E_m+PQ$ および $E_n+QP$ が正則であるとき この右半分が $A^{-1}$ である。, $A$ の逆行列の $ij$ 成分は $\dfrac{\Delta_{ji}}{\det A}$, ただし,$\det A$ は $A$ の行列式, \end{array} \[ &= (E+P)^{-1}(E+P-P) \\ = C & -D \\ \end{array} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ \begin{array}{cc} が成り立つ., 行列 &= \biggl(D^{-1} + CA^{-1}B\biggr)^{-1} &= A^{-1}-A^{-1}(E_n + BDCA^{-1})^{-1}BDCA^{-1} \\ \right]^{-1} = \left[ \left[ \end{array} ただし,行列 $D$ が正方行列となるように分割した.行列 $A$ が正則であり,$A$ に関するSchur補行列 \left[ S_D^{-1} & -A^{-1}BS_A^{-1}\\ \right] \end{array} \] $\Delta_{31}=(-1)^4\det\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=1$ B & A \[ 1 & -1 & 1 & -1 \\ $$, $$ \[ 2 \left[ 6 & 1 & -2 \end{align*} E & O \\ P & E \begin{array}{cccc|cccc} \end{array} が成り立つから, $$ = C&D O_n & E_n \[ \left[ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline このページでは、「\(2×2\) 行列の逆行列の求め方」と「\(3×3\) 行列の逆行列の求め方」を具体例 . \textrm{det}(E+QP) = \textrm{det}(E+PQ) \neq 0 \[ 5/2&-9/2&-5 \[ \left[ \end{array} E & -A^{-1}B \\ O & E 0 & 1 & 0 & -1 \\ \left[ \], $A$ が右上にある場合を示す.$P \in \mathbb{C}^{m \times m}$,$Q \in \mathbb{C}^{m \times n}$,$R \in \mathbb{C}^{n \times m}$,$S \in \mathbb{C}^{n \times n}$ に対して, \[ \right] $\Delta_{21}=(-1)^3\det\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}=-3$ \], \[ = &= について . (E_m+PQ)^{-1}P = P(E_n+QP)^{-1} \], 「Sherman-Morrison-Woodbury の公式」「逆行列補題」と呼ぶこともある.また,これらの名称は以下に示す Theorem 4 のことを指す場合もある., 以下で証明する Theorem 4 において $D$ に $m$ 次の単位行列 $E_m$ を代入せよ., $$ \begin{array}{cc|c} \end{align*} \end{align*} \left[ であり,$P$が正則ならば $\textrm{det}(P) \neq 0$ であって \] \[ 残り6個も同様に計算できて,逆行列は \begin{array}{cc} \right] \end{array} 2 E_m & -A\\ A & O_{m,n}\\ 1 & 0 & -1 & 0 \begin{array}{cc} -1 &3&3\\ &= AC + iAD + iBC-BD = (AC-BD) + i(AD + BC) BC+AD & -BD+AC = \] 与えられた正方行列の逆行列を求める方法,具体的な計算例を解説します。なお,公式の証明は線形代数の教科書を参照して下さい。, $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ の逆行列は,$A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, 以下,一般の $n\times n$ の正方行列の逆行列を求める二通りの方法を解説します(具体例は3×3の場合のみ)。, 横長の行列$(A\:\:I)$ に行基本変形を繰り返し行って$(I\:\:B)$ になったら,$B$ は $A$ の逆行列である。, 行基本変形とは以下の三つの操作です。 \begin{array}{cc} &= (E_n + A^{-1}BDC)^{-1}A^{-1} \\ &= \textrm{Rot}(x , \theta)^{-1} = \textrm{Rot}(x ,-\theta) S_A = D-CA^{-1}B \begin{array}{cc} \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 & 1 \right]^{-1} \[ \left[ \[ \end{array} $\begin{pmatrix}1&0&0&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\0&1&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\0&0&1&-1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \right] \[ \left[ A&B\\ を得る.$A$ が左下にある場合も同様である., 正方行列 $M$ を次のようにブロック分割する: \begin{array}{cc} &= (E+P)^{-1}(E+P)-(E+P)^{-1}P \\ \begin{array}{cc} \right] E & O \\ S & E 次に,二列目(の第2成分以外)に $0$ を並べるように操作3を行う:

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