a_{2} \\ k \end{array} \end{array} B ⊗ \end{array} ) \right] \left[ 一方、B に注目すれば B も正則行列で、A は B の逆行列である。, 行列の正則性は行列の基本変形を使って判定できる[9]。 E \left[ すなわち \right] a_{n} G (β) 上の同値条件 (i)–(iii) が成り立つために a, b が満たすべき条件を求めよ. からなる., (2) 実ベクトル v1, v2, . . x�S(T0�3R0 BmDf�zF \left[ (ii) A2 =AP. 一方で、理論的には行列式を使ったクラメールの公式も重要である。 \right] \left[ 具体的な逆行列の計算には、基本変形を使って順に掃き出していく方法がよく使われる。 B ∘ , µs, µs (r≥0, s≥0, r+ 2s=n) k 3 & 4 \\ 線形代数で解けるのは一次式で表せるような線形の漸化式です。 この記事で扱うのはこれに該当します。 目次. \end{array} 3 & 1 \\ \right. ) ( \right] G } \left[ , λr ( m \begin{array}{} , λr) と \left[ 1 & 0 \\ \end{array} $$, $$\left[\begin{matrix}6 \cdot 3^{n - 2} \left(n - 1\right) + 5 \cdot 3^{n - 1}\\2 \cdot 3^{n - 2} \left(n - 1\right) + 3^{n - 1}\end{matrix}\right]$$, $$\left [ \left ( 3, \quad 2, \quad \left [ \left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]$$, $$\left ( \left[\begin{matrix}3 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}3 & 1\\0 & 3\end{matrix}\right]\right )$$, $$ } a_{n} : 1次独立、1次従属の説明をする前に、1次結合の説明をしておきましょう。 線形結合とは、とあるベクトル をベクトルの組 を用いて表したものを表します。 具体的に式で表すと、→b=c1→a1+c2→a2+⋯+cn→an→b=c1→a1+c2→a2+⋯+cn→anとなります。 \left[ \end{array} ( (i) A と A2 の階数が等しい. により決定されるので、体 k 上のアフィン群スキーム G もその環 . {\displaystyle {\mathcal {O}}(G)} b_{n} \\ , �J�]�u��_j�B�p�a��H�`�~F����R�o8Wx~c`��P��" K =Rとする.V =R[x]2 を,R に係数をもつ2次以下の多項式全体からなるベ 9 0 obj b_{n+1} = 4a_n - b_n k \begin{array}{rrr} {\displaystyle BA=E_{n}} \left[ が左不変 left-invariant であるとは, がすべての x ∈ G(k) に対して成り立つことをいう。ここで G T . \right] 3項間漸化式. → a_{n} \\ a_{n+1} = 2a_n + b_n \\ \end{array} a_{n} \right] → m {\displaystyle G_{\bar {k}}} 1 max 3^{n-1} & 3^{n-2}(n-1) \\ \begin{array}{rrr} k 正則行列(せいそくぎょうれつ、英: regular matrix)、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、英: non-singular matrix)あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、英: invertible matrix)とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。例えば、複素数体上の二次正方行列, が正則行列であるのは ad − bc ≠ 0 が成立するとき、かつ、そのときに限る。このとき逆行列は, ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群は線形代数群あるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。, n 次単位行列を En や E で表す。 \end{array} <> . ( \end{array} -2 & 0 \\ a_{1} A クトルで, v1, v2, . \end{array} k O a {\displaystyle m=n} $$, $$\left[\begin{matrix}3 & 4\\0 & 1\end{matrix}\right]$$, $$\left[\begin{matrix}7 \cdot 3^{n - 1} - 2\\1\end{matrix}\right]$$, $$\left [ \left ( 1, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 3, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]$$, $$\left[\begin{matrix}-2 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right]$$, $$\left[\begin{matrix}0 & 1\\1 & 2\end{matrix}\right]$$, $$\left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 3\end{matrix}\right]$$, $$ a_1 = 1 $$$$ b_1 = 2 $$$$ , a_{n+1} \\ ¯ a E {\displaystyle {\mathcal {O}}(X)} 1 & 2 \\ {\displaystyle D\colon {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)} \left[ \left[ を k の代数的閉包としたとき底変換(英語版) base change O \end{array} \right] ¯ ¯ のリー部分代数すべてが G の代数部分群と対応するわけではない。(C 上のトーラス G = (Gm)2 がそのような例である。)正標数の場合には、同じリー代数を定める G の連結部分群はいくつも存在し得る。(重ねてトーラス G = (Gm)2 がそのような例である。)このような理由で、代数群のリー代数は重要ではあるものの、代数群の構造論にはより大域的な道具立てが必要とされる。, 代数的閉体 k に関して、行列 g ∈ GLn(k) は対角化可能であるとき半単純 semisimple と呼ばれ、g − 1 がべき零であるときべき単 unipotent と呼ばれる。言い換えると、 g がべき単であるのは g のすべての固有値が 1 と等しいことである。正則行列の乗法的ジョルダン分解はすべての行列 g ∈ GLn(k) が積 g = gs gu として一意的に書けると述べている。ここで gs は半単純、 gu はべき単であり、gs と gu は互いに可換である。, 任意の体 k に関して、元 g ∈ GLn(k) は k の代数的閉包上で対角化可能であるとき半単純という。体 k が完全であるとき、元 g の半単純成分とべき単成分もまた GLn(k) に属する。最後に、体 k 上の任意の線型代数群 G ⊂ GLn に対して、 G の k 値点は GLn(k) 内の半単純元あるいはべき単元であるとき、半単純あるいはべき単と定める。(これらの性質は G の忠実表現の取り方に依存しない。)体 k が完全であるとき、k 値点の半単純成分とべき単成分もまた G に属する。すなわち、すべての元 g ∈ G(k) は G(k) において積 g = gs gu として一意的に書ける(ジョルダン分解 Jordan decomposition)[10]。ここで gs は半単純、 gu はべき単であり、gs と gu は互いに可換である。これによって G(k) の共役類を記述する問題は半単純な場合とべき単の場合に還元される。, 代数的閉体 k 上のトーラス torus とは (Gm)n と同型な群を指す。ここで n はある自然数であり、 (Gm)n は k 上の乗法群 Gm の n 個のコピーの直積である。線型代数群 G に対して、 G の極大トーラス maximal torus とは G に含まれるトーラスであって、より大きなトーラスに含まれていないものを指す。例えば、k 上の GLn に含まれる対角行列群は GLn の極大トーラスで (Gm)n と同型である。理論における基本的な結果は、代数的閉体 k 上において G のどんな極大トーラスも適当な G(k) の元によって互いに共役であるというものである[11]。G の階数 rank は極大トーラスの次元を指す。, 任意の体 k に関して、 k 上のトーラス torus T とは k 上の線型代数群であって、k の代数的閉包への底変換 base change G \end{array} = \left[ \begin{array}{l} . \begin{array}{rrr} {\displaystyle G({\bar {k}})} A ) \right] λ 0 & 3 \\ は : \end{array} \left[ \left[ の自己同型であり、随伴表現, 標数ゼロの体上において、線型代数群 G の連結部分群 H はリー代数 r endobj \begin{array}{rrr} \end{array} すなわち. \right] が成り立つことを示し,また(5) に答えよ., (1) Aの(Cにおける)固有値すべてを重複度も込めて記述すると,実数 λ1, λ2, . ( A $$, $$\left[\begin{matrix}6 & -9\\1 & 0\end{matrix}\right]$$, $$ \begin{array}{rrr} endobj G 重解を持つ3項間漸化式. O 正則行列(せいそくぎょうれつ、英: regular matrix )、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、英: non-singular matrix )あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、英: invertible matrix )とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。 この逆元を、元の正方行列の逆行列という。 . 大学の講義は、論理を求めるあまり初学者にとって意味不明になりがちです。そこで、厳密さ以上に「やさしさ」を追求して、理解に必要な要点をまとめました。これで新入生だけでなく再履中のアホでも分かるはずです。, 今回の記事は、そもそも線形代数とは何かという話しか扱いません。線形代数の基本事項をざっくり復習したい人は次のページをご覧ください。, また「この単元を勉強したい!」って方は、以下のリンクから該当する記事をお探しください。本連載では様々な単元に関する40以上の解説記事が揃っています。, とりあえず、今は行列というものをひたすらイジる分野という認識で大丈夫です。今度は「行列」という言葉が登場しましたので次項でそれを説明します。, 日常でも「行列のできる法律相談所」みたいな感じで「行列」という言葉を使いますが、数学ではその意味が大きく変わります。, 簡単に言えば、数字を四角に並べたもののことです。例えばこんなの↓ A^{n-1} \left[ {\displaystyle B_{\bar {k}}} {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} x��Ko#7���s�撢$J@���Co|k{�c�������֘r�h�@�dR$��E~�Kr�wG�:ԯ�)�3������M���2��b�:� �[;L�m�=���/�ϛ�h꜃���� ޥnM��4ƾO����������!Fwzi���/߂Y���A�� ;������1��eM����;�G�Y��8�vg1���e\��e��}�)E��+���8$�ĕO�.v8H�jPt�4����Ff�k.�\i�ro���e�����<>�wm^Y���H@hM ��ݦ���\(my;��O���,�T�Qy������51�8`H�Hꕹ��Y܇�@��Y�M!���nR��#��`D-��5�kf��c���Y��[ӆ����d�f���hBf����!gfZ�Z;9�1���=�1ś�}7��]-�=Cm���p��s:ڳ��=d���%��j��Zv��� MLH#Wa��{N�˾�&V��bQ7�Y0����qhs������K�!m� [��}����(v�t+=x�T�h+��S���Z�7�'c�V�s �9d���{�\�$�tؿ�?_(�,��Is%����Zv������T�YK;�C��Z� -2 & 0 \\ A, B をn 次複素正方行列とする. ¯ ( \right] \end{eqnarray} (「線型代数群」という用語を体上の有限型アフィン群スキームの意味で使う著者もいる。) 線型代数群を十分に理解するためには、より一般の(滑らかでない)群スキームを考える必要がある。例えば、 k を標数 p > 0 の代数的閉体とする。 {\displaystyle {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)\otimes {\mathcal {O}}(G)} \right] \begin{array}{rrr} \end{array} ) X \end{array} \left[ <この記事の内容>:線形代数における『線形写像』について、イラストを使いながら基本的な意味から『核(カーネル)・像(イメージ)』と言った理解しにくい事柄まで紹介して … O \begin{array}{rrr} {\displaystyle {\mathfrak {g}}} \end{array} g \end{array} → $$, 当サイトでは 利便性向上の為 Google Analytics を使用しています, # スペクトル分解して、固有値と固有ベクトルを求める, # 固有値, 重複度, 固有ベクトル(重複度分), # これを計算すると同様の結果を得られる. O {\displaystyle G_{\bar {k}}} {\displaystyle \max\{m,n\}=\max\{rankE_{m},rankE_{n}\}=\max\{rankAB,rankBA\}\leq rankA\leq \min\{m,n\}} \begin{array}{rrr} m https://books.google.com/books?id=MoLTBwAAQBAJ, http://math.stanford.edu/~conrad/papers/luminysga3.pdf, http://www.jmilne.org/math/xnotes/tc.html, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=線型代数群&oldid=72221227. \right] Deligne & Milne (1982), Corollary II.2.7. 物理学専攻1年生向け. \right] \end{array} k k 1 & 0 \\ G 従ってこれらを並べた, −1 (ai, bi ∈R, bi ̸= 0; 1≤i≤s) とすると,tP AP は, に一致する.このB は対角行列 diag(λ1, λ2, . \begin{array}{rrr} 第 I 部と第 II 部では連立 1 次方程式の解法と行列式の計算を主に \end{array} a_{n+1} \\ 䕖�y䕊�Q��F0�[G-U�ᨥ���}�`�ާ��4û6W��|DN��&r��N�ʟ�q�'nb?F�tu��&��pO�ծ�Pj�!�j��a�Z�a5�&j�L��95��EP�R+�z �@�݆��=�ı���~M�us�+9��m:��m� \left[ より { . : max 2項間漸化式. ¯ \end{array} ¯ {\displaystyle G_{\bar {k}}} . 上 (Gm)n と同型であることを指す。k 上分裂トーラス split torus とは n はある自然数に対して k 上 (Gm)n と同型な群を指す。実数 R 上分裂しないトーラスの例としては, がある。ただし、群構造は複素数 x + iy の積によって与える。ここで T は R 上 1 次元のトーラスである。T(R) は円周群であり、抽象群としてすら Gm(R) = R* と同型でないので、これは分裂しない。, 体 k 上のトーラスの任意の元は半単純である。逆に、もし G が連結線型代数群で ( . ɹ # 固有値と固有ベクトルを求めてみるが.. ~/venv/lib/python3.7/site-packages/sympy/core/decorators.py, ~/venv/lib/python3.7/site-packages/sympy/matrices/common.py, ~/venv/lib/python3.7/site-packages/sympy/matrices/matrices.py, ~/venv/lib/python3.7/site-packages/sympy/matrices/dense.py, # 実際にこれを計算してみると, # 両辺にかけるので分数を取る, 隣接3項間型の漸化式 | 受験の月. 1 a_n + \frac{1}{4} b_n = \frac{3^n}{2} \begin{array}{rrr} = \left[ a_{n+1} \end{array} \end{array} { 数学において、線型代数群(せんけいだいすうぐん、英: linear algebraic group)とは、 n 次正則行列の全体が(行列の積に関して)成す群(すなわち一般線型群)の部分群であって、それが多項式系によって定義されるものを総称して言う。例えば M′M = 1 という関係式で定義される直交群は線型代数群である。(ここで M′ は行列 M の転置。), 多くのリー群は実数体あるいは複素数体上の線型代数群としてみることができる。(例えば、すべてのコンパクトリー群や単純リー群 SLn(R) といった多くの非コンパクト群は R 上の線型代数群と見做せる。)単純リー群はヴィルヘルム・キリング(英語版)とエリー・カルタンによって1880年代から1890年代にかけて分類された。当時は群構造が多項式で定義されている——代数群である——という事実が特別に利用されることはなかった。マウラー(英語版)、シュヴァレー、コルチン(英語版)[1] などが代数群の理論の創始者である。1950年代にアルマン・ボレルは今日存在する代数群の理論の多くを築いた。, 正の整数 n に対して、 n 次正則行列から成る体 k 上の一般線型群 GLn は k 上の線型代数群である。これは, を含む。群 Gm = GL1 は乗法群 multiplicative group と呼ばれる。すなわち、群 Gm(k) は体 k のゼロでない元が乗法に関して成す群 k* である。加法群 additive group Ga——Ga(k) = k(加法に関して)——も行列群として表すことができる:例えば GL2 の, 乗法群と加法群という、この二つの基本的な可換線型代数群は(代数群としての)線型表現に関して非常に異なった振る舞いをする。乗法群 Gm のすべての表現は既約表現の直和である。(それらの既約表現はすべて1次元で、ある整数 n によって x ↦ xn という形で表される。)対照的に、加法群 Ga の唯一の既約表現は自明表現である。したがって、すべての Ga の表現は自明表現による拡大の反復であり、(表現が自明なときを除いて)それらの直和ではない。線型代数群の構造定理は線型代数群をこれら二つの基本的な群と(後述する)その一般化であるトーラスとべき単群の観点から分析する。, 代数的閉体 k に関して、k 上の代数多様体 X に関する構造の多くはその k 有理点の集合 X(k) にエンコードされていて、それにより線型代数群を初等的に定義することができる。まず、抽象群 GLn(k) から k への関数が正則 regular であるとは、それが n 次正方行列 A の成分と 1/det(A) の多項式としてかけることをいう。ここで det は行列式である。すると、G が体 k 上の線型代数群 linear algebraic group とは、ある自然数 n に関する抽象群 GLn(k) の部分群 G(k) である。ここで G(k) は適当な正則関数のなす集合の零点として定義される。, 任意の体 k に関して、k 上の代数多様体は k 上のスキームの特別な場合として定義される。スキームの言葉では、体 k 上の線型代数群 G とは、ある自然数 n に関する体 k 上の GLn の滑らか(英語版)な閉部分群スキームである。特に G は GLn 上の適当な正則関数のなす集合の零点として定義され、これらの関数は「任意の可換 k 多元環 R に対して G(R) は抽象群 GLn(R) の部分群である」と言う性質を満たさなくてはならない。(したがって、k 上の代数群 G は単に抽象群 G(k) ではなくて、むしろ可換 k 多元環 R に対する群 G(R) の族全体である——これが関手的観点からスキームを記述する哲学である。), どちらの言葉を用いるにせよ、線型代数群に関する準同型 homomorphism の概念がある。例えば、k が代数的閉体のときは、G ⊂ GLm から H ⊂ GLn への準同型は抽象群に関する準同型 G(k) → H(k) であって、G 上の正則関数で定義されるものである。これにより k 上の線型代数群は圏をなす。特に、これにより線型代数群の同型とは何を意味するのかが定まる。, スキームの言葉を用いると、体 k 上の線型代数群 G は特に k 上の群スキーム(英語版) group scheme である。つまり、k 上のスキームであって k 有理点 1 ∈ G(k) と k 上の射, を持ち、群の積と逆に関する通常の(結合律・単位元・逆元に関する)公理を満たす。さらに線型代数群は滑らかで k 上有限型であり、アフィン・スキームである。逆に、どんな体 k 上の有限型アフィン群スキームもある自然数 n に関して k 上 GLn への忠実表現を持つ[2]。例としては上述の加法群 Ga の GL2 への埋め込みがある。その結果、線型代数群を行列群、あるいはより抽象的に体上の滑らかなアフィン群スキームと思うことができる。(「線型代数群」という用語を体上の有限型アフィン群スキームの意味で使う著者もいる。), 線型代数群を十分に理解するためには、より一般の(滑らかでない)群スキームを考える必要がある。例えば、k を標数 p > 0 の代数的閉体とする。このとき x ↦ xp で定義される準同型 f: Gm → Gm は抽象群としての同型 k* → k* を誘導するが、f は代数群としての同型ではない(なぜなら x1/p は正則関数ではないから)。群スキームの言葉を用いると、f が同型でないより明快な理由がある:f は全射であるが、非自明な核 μp(1の p 乗根からなる群スキーム)を持つ。このような問題は標数ゼロのときには生じなかった。実際、標数ゼロの体 k 上の有限型群スキームは k 上滑らかである[3]。体 k 上の有限型群スキームが k 上滑らかである必要十分条件はそれが絶対被約 geometrically reduced、つまり

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