公式2:$\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))$, 今回はマニアックな不定積分の公式です。 $\sinh$(ハイパボリックサイン)の逆関数のような形が出現しています。積分定数は省略していますが,答案では忘れないでください!, ヤングの不等式: 微分計算は、積・商・合成関数の微分法をマスターするだけでほとんどの関数を微分することがで … /Subject() 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 295.1 endobj /Ascent 723 /Name/F8 13 0 obj =1$, 次の問題はPutnam Competition(PC,パトナム競争)と呼ばれる数学コンテストの過去問です。, $I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)}$ を求めよ。, 与式を眺めると,分母分子を $m^2n$ で割ることで綺麗な形になることが分かります: /F2 18 0 R /Type/Font \geq\displaystyle\left(\int_p^q f(x)g(x)dx\right)^2$, 等号成立条件は $g(x)=tf(x)$ となる $t$ が存在する(または $f=0$)こと。, 三角関数と指数関数の積の積分は部分積分を2回行って求めるのが定石ですが,計算量も多くミスしやすいので,公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます:, $\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 200 589.1 483.8 427.7 555.4 505 556.5 425.2 527.8 579.5 613.4 636.6 272] 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 275 500 777.8 777.8 777.8 >> 25 0 obj 833.3 1444.4 1277.8 555.6 1111.1 1111.1 1111.1 1111.1 1111.1 944.4 1277.8 555.6 1000 >> ただし,$A$ を回転させる過程で $A$ 自身とは重ならないとする。, 傘型分割: 666.7 666.7 666.7 666.7 611.1 611.1 444.4 444.4 444.4 444.4 500 500 388.9 388.9 277.8 761.6 272 489.6] 1600 1600 1600 1600 2000 2000 2000 2000 2400 2400 2400 2400 2800 2800 2800 2800 3200 275 1000 666.7 666.7 888.9 888.9 0 0 555.6 555.6 666.7 500 722.2 722.2 777.8 777.8 /Widths[1000 500 500 1000 1000 1000 777.8 1000 1000 611.1 611.1 1000 1000 1000 777.8 /Name/F6 (→等比×等差の和を求める2通りの方法) $I=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx$ 791.7 777.8] << /Style<< /LastChar 196 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 458.3 458.3 416.7 416.7 31 0 obj << }(\beta-\alpha)^{m+n+1}$, $\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)! endobj ただし,$a_n=\dfrac{3^n}{n}$ とおいた。 上野竜生です。積分は非常に奥が深くノーヒントで試験時間中に解くのは難しいものもあります。しかしそういう場合はたいてい(1)などでヒントが与えられています。今回は(1)などのヒントを使って(2)の難問積分を解く方法を紹介します。例題1 微分し %���� /Type/FontDescriptor /Type/Font /Type/FontDescriptor =\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_m+a_n}{a_ma_n(a_m+a_n)}\\ endobj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 606.7 816 748.3 679.6 728.7 811.3 765.8 571.2 $x=f(t), y=g(t)$ と媒介変数表示された曲線 $C$ の $\alpha\leq t\leq \beta$ の部分の長さは, $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt$, 弧長積分2:$f$ は連続かつ微分可能で $f’$も連続とする。 500 500 611.1 500 277.8 833.3 750 833.3 416.7 666.7 666.7 777.8 777.8 444.4 444.4 /Kids[4 0 R 31 0 R 57 0 R 83 0 R 109 0 R 135 0 R 161 0 R 187 0 R 213 0 R] 324.7 531.3 590.3 295.1 324.7 560.8 295.1 885.4 590.3 531.3 590.3 560.8 414.1 419.1 /Encoding 7 0 R $\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x+C$ /FirstChar 33 /FontBBox[-170 -331 1024 903] 544 516.8 380.8 386.2 380.8 544 516.8 707.2 516.8 516.8 435.2 489.6 979.2 489.6 489.6 $\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$, $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)! /FontDescriptor 33 0 R 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1055.6 944.4 472.2 833.3 833.3 833.3 833.3 /Count 9 ��'���>m@%����-��ƇW�ҁn z���7x�K�����ĴVzF�����I ��b�D�A��h� endobj endobj endobj /LastChar 196 597.2 736.1 736.1 527.8 527.8 583.3 583.3 583.3 583.3 750 750 750 750 1044.4 1044.4 500 500 722.2 722.2 722.2 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 750 1000 1000 833.3 611.1 %PDF-1.4 /BaseFont/Ryumin-Light-H が定める図形を $l:y=mx$ の回りに回転させてできる図形の体積 $V$ は, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{3}{4}$ となる。 /StemV 99 >> /Ascent 752 /Subtype/CIDFontType0 /FontDescriptor 21 0 R 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 /F3 22 0 R << << また,対称性より $I=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx$ /Subtype/Type1 $2I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\dfrac{1}{a_m(a_m+a_n)}+\dfrac{1}{a_n(a_m+a_n)}\right\}\\ $M(1,\sqrt{2})=\dfrac{l}{L}$, 「算術幾何平均」や「レムニスケートの長さ」については後述します。非常に美しい定理です。, $\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}$, Planck の法則から Stefan–Boltzmann 定数を計算するときに登場する広義積分です[1]。, 極座標平面において,図のように $\theta=\alpha,\:\theta=\beta,\:r=r(\theta)$ で囲まれた,$x$ 軸の上側にある図形を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸(始線)の回りに回転させてできる立体の体積は, >> /Widths[791.7 583.3 583.3 638.9 638.9 638.9 638.9 805.6 805.6 805.6 805.6 1277.8 << /LastChar 196 5 0 obj << << >> 30 0 obj /Name/F3 <この記事の内容と対象>:初めて積分を用いて体積を求める方法を習う/習ったが苦手な人〜基本的な求積問題を復習したい人。, まずは、求積問題のパターンを紹介します。(各々のパターンの詳細な解説記事を随時追加していきます。), 詳しくは下の【実践編】で解説しますが、$$V=\pi\cdot\int^{\beta}_{\alpha}y^{2}dx$$で求まります。, ・微小体積(半径\(x^{2}\)で高さが微小)を積分していく一般的な解き方のほかに、, ・いわゆる『バームクーヘン分割(or年輪法)』という解法を利用する場合もあります。, ここまでの2つは、x軸、or、y軸の周りの求積だったのでまだ理解しやすいかと思います。, が、たまにy=x(つまり原点から45°方向)を軸としてその回転体の体積を求めさせる問題が出ることがあります。, ”x-y-z”座標空間内にある図形を、z軸(もしくはx ,y軸など)について回転させた時の体積を求める問題がこれにあたります。, そのため、ベクトルなどの道具を用いて断面とその面積を計算し、それを積分して答えを求めます。, これは、「”媒介変数”によって表されたグラフ」を、さらに回転(主にx軸・y軸中心に)させたものです。, 媒介変数がからんだ問題は、そもそもグラフを書くだけでも大変なことが多い上に、それを回転させるので計算量が膨大になりやすいです。, 最後に、もともと図形が何らかの条件(不等式で表された領域など)で与えられているものの体積を求める問題です。, 参考者などに必ずと言っていいほど出てくるもので、どの『切り口』で積分を進めるかによって、, <例題1>:【0≦x≦π】において、\(y=\sin x とy=0\)で囲まれた部分を、x軸を中心として一回転させた。, すると、以下の様なグラフの回転体の体積を求めればいいことがわかります。そして、上の図中にもある様に、\(半径y=\sin x\)の円を底面とする【微小な円柱】を『0からπまで集める=積分する』ことで問題の体積が求まります。, したがって、\(\int^{\pi}_{0}\pi\sin^{2}x dx\)を計算すれば良いので、「半角の公式(積分において三角関数の公式は超重要です!)」より、$$\sin^{2}x=\frac{1-2\cos x}{2}$$, $$\pi\int^{\pi}_{0}\frac{1-2\cos x}{2} dx=\frac{\pi^{2}}{2}$$, 今回は、体積を求めるシリーズの(1)として大体のパターン分けを前半で行い、最も単純なx軸についての回転体を後半の実践例題で扱いました。, >>(まとめ)「基礎から応用・発展レベルまで数学3の微積分の解法・解説記事まとめ!」<<, スマホで学ぶ、受験・学習メディア『スマナビング!』へのお問い合わせ/ご依頼に付きましては、【運営元ページ】にて、受け付けております。. >> (1) $\displaystyle\int_{0}^1\dfrac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}$ /CapHeight 709 /Subtype/Type0 /Subtype/CIDFontType0 2020/11/13 大学入試共通テスト(センター試験)裏技のpdfを20201年受験用に更新。, 高校数学の全パターンの網羅を目指す。 全パターンの解法を暗記すればどんな問題が出されても解けるはず(;¬_¬), どこか(東大?)の教授 「高校の範囲内であっても出題できる問題パターンは無限にある」, 当サイトのレベルは、センター試験~難関国立大くらいを想定しています。もちろん、最終的に超難関大学・学部を目標とする学生も利用できるでしょう。, 超初心者は想定していません。そもそもそのレベルの学生がインターネットの学習サイトを閲覧しようとする可能性は低いと考えるからです。, 分野にもよりますが、定期試験レベルのパターンはおおよそ網羅できております。 しかしまだまだパターンの抜けも多く、完全に既存の教科書や問題集の代わりになるわけではありません。また、それを目指してもおりません。, 結局、推奨する利用法は以下となります。学習においても他のどんなことにおいても、やり方・使い方を間違えると最大の効果が得られません。当サイトの理念・特徴を理解した上で、正しく利用するようにしましょう。, 高校数学お役立ち情報(4)高校数学 要点まとめ(試験直前最終確認用)(8)センター試験数学の裏技と対策(8)大学入試 記述試験用答案作成テクニック(11)関数一般(10), 数と式(整式の計算・因数分解・実数)(25)数と式(方程式と不等式)(12)2次関数(グラフと最大・最小)(20)2次関数(2次方程式と2次不等式)(25)集合・命題・条件・論理・証明(20)三角比と図形の計量(41)データの分析(10), 場合の数(22)確率(16)整数:不定方程式解法パターン(11)整数(32)平面図形(17), 式と証明(36)複素数と方程式(31)図形と方程式(直線)(19)図形と方程式(円)(14)図形と方程式(軌跡と領域)(16)図形と方程式(逆像法)(9)三角関数(41)指数関数と対数関数(23)整式の微分(43)整式の積分(30)多変数関数の最大・最小パターンと発想(13), 平面ベクトルと平面図形(35)空間ベクトルと空間図形、空間の方程式(22)数列(34)数列:漸化式17パターンの解法とその応用(19)数列:数学的帰納法 最重要6パターン(6), 複素数平面(33)分数関数・無理関数・逆関数・合成関数(18)2次曲線(放物線・楕円・双曲線)(24)曲線の媒介変数表示と極座標・極方程式(20)数列の極限と関数の極限(46)微分法(基本計算パターン)(16)微分法:頻出グラフ(陽関数表示)(19)微分法:頻出グラフ(陰関数表示と媒介変数表示)(12)微分法の応用(26)積分法(基本計算パターン)(35)積分法(ランダム計算演習)(7)積分法の応用(数式)(25)積分法の応用(面積・体積・長さ)(22)積分法の応用(有名図形の面積・体積・長さ)(12), 『受験の月』を印刷用にまとめ直したpdfファイルを購入できます。原則としてpdfの内容はサイトの画像と同じですが、センター数学の裏技のpdfにはサイト非公開の裏技や情報が多数含まれています。, 問題集を解いていたときにわからない部分が生じた。解説・解答を読んでも理解できない。もっと詳しい解説がほしい。, 問題集の解答自体理解はできるが、そもそも何故そのような解答に至るのかが分からない。着想を含むもっと深い解説が欲しい。, 1998年 東京大学 後期 理系 第3問 大学入試史上No.1の超難問~ガロアが遺したもの~, 関数の極限⑤ 三角関数の極限の公式 lim sinx/x=1、lim tanx/x=1、lim(1-cosx)/x²=1/2. =\dfrac{1}{2}(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin xdx}{\sin x+\cos x}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos xdx}{\sin x+\cos x})\\ 545.5 825.4 663.6 972.9 795.8 826.4 722.6 826.4 781.6 590.3 767.4 795.8 795.8 1091 2 0 obj >> /F0 10 0 R 今回はマニアックな不定積分の公式です。 $\sinh$(ハイパボリックサイン)の逆関数のような形が出現しています。 積分定数は省略しています が,答案では忘れないでください! $\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta d\theta$. ($g_x$ は重心と回転軸の距離) /CIDSystemInfo<< /Subtype/Type1 28 0 obj (ただし $a > 0$), 一見面積とは無縁な微分という操作の逆を考えることで面積が求められるというのは驚きです。, 瞬間部分積分は複数回部分積分が必要な問題を即効で解く方法です,めんどくさい計算をかなり省略できます,オススメ!, $r(\theta)$ が連続関数のとき,極方程式 $r=r(\theta)$ で表される曲線と $\theta=\alpha, \beta$ で囲まれる部分の面積は, /Widths[609.7 458.2 577.1 808.9 505 354.2 641.4 979.2 979.2 979.2 979.2 272 272 489.6 /Subtype/Type1 © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. hk�Z�%��T�f�E�Q��l�2� ここで,等比×等差数列の和を求めると, /BaseFont/HOODXC+CMR8 1277.8 811.1 811.1 875 875 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 888.9 888.9 888.9 489.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 611.8 816 計算技術の面では特別難しいことはなく,2次関数を積分するだけである. 連続関数 $y=f(x)$,$x$ 軸,$x=\alpha,x=\beta\:$(ただし $0\leq \alpha <\beta$)で囲まれた図形を $y$ 軸の回りに回転させてできる立体の体積 $V$ は, /FontDescriptor 11 0 R /LastChar 196 12 0 obj /DescendantFonts[30 0 R] /LastChar 196 /Filter/FlateDecode >> /Outlines 239 0 R $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)! /FirstChar 33

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