よって、正二十面体を双五角錐反柱 (Gyroelongated pentagonal bipyramid) と呼ぶ場合がある。 向かい合う面は平行である。 展開図の数は43,380種類。 面の数は20、辺の数は30、頂点の数は12。 頂点形状は正五角形であり、5本の辺と5枚の正三角形が集まる。 0000141542 00000 n trailer<] >> startxref 0 %%EOF 43 0 obj<>>> endobj 66 0 obj<. 正多面体とは「すべての面が同一の正多角形で構成され、すべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体」です。そしてこの正多面体は、たったの5種類しか存在しません。この事実は2300年以上前に分かっていました。この記事では、正多面体が5種類しか存在しないことの証明を、分 … 0000001054 00000 n 0000011231 00000 n 正多面体の展開図を全部描いてみました. 正四面体の展開図(2種類) 正六面体の展開図(11種類) 正八面体の展開図(11種類) 正十二面体の展開図(43380種類) (pdfファイル, 14MB) 正二十面体の展開図(43380種類) (pdfファイル, 10MB) 0000001305 00000 n 0000142103 00000 n 0000000893 00000 n 0000141899 00000 n 0000016942 00000 n 0000011382 00000 n 0000141877 00000 n ここまでは、自力で描けるようになってほしい展開図です。じつは、正八面体の展開図も11種類あります。 立方体と同じで、もっとも多く横に並ぶ正三角形の数で分類すると、整理しやすくなります。 %PDF-1.4 %���� 42 0 obj <> endobj xref 42 25 0000000016 00000 n 0000162352 00000 n 0000124457 00000 n 0000013662 00000 n 0000013506 00000 n 0000016457 00000 n 正八面体の展開図も11種類ある. 0000124702 00000 n 0000124961 00000 n 小学校5・6年生を対象に,すべての面が正三角形からできている3種類の正多面体(正四面体,正八 面体,正二十面体)を,展開図をかいて組み立てることを用いた教材を提案し,実践を行った。正多面体 の立体図形を見ながら,その立体図形の展開図をかくこと,かいた展開図を組み立てて正多面体を作る 正多面体とは、① すべての面が同一の正多角形で構成され、② すべての頂点において接する面の数が等しい、③ 凸多面体のことです。, つまり、正多面体を構成する正多角形の辺の数と、頂点にあつまる面の数が決まれば、正多角形が1つに決まるということです。, 正多面体を構成する面が正 \(p\) 角形、1つの頂点に集まる面の数を \(q\) とすると、正多面体は\((p,q)\)のように表すことができます。(この数を「シュレーフリ記号」と呼びます。), そしてこの正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5つしか存在しないことが分かっています。, それでは、正多面体が5種類しか存在しないことのエレガントな証明を見ていきましょう。, ここで、立体を構成するためには、1つの頂点に集まる面の数は3以上でなければなりません。(頂点にあつまる面の数が2だと、山折りできるだけで立体にはならない。), 正三角形の内角は60°です。「1つの頂点に集まる面の数は3以上」かつ「1つの頂点に集まる角の和が360°未満」であるためには、\(q=3,4,5\) であることが必要です。(\(q \geq 6\) だと、360°以上になってしまうので不適。), よって、\(p=3\) のとき、\((3,3),(3,4),(3,5)\)の3種類となります。, 正三角形の内角は90°です。「1つの頂点に集まる面の数は3以上」かつ「1つの頂点に集まる角の和が360°未満」であるためには、\(q=3\) でなければなりません。(\(q \geq 4\) だと、360°以上になってしまうので不適。), 正三角形の内角は108°です。「1つの頂点に集まる面の数は3以上」かつ「1つの頂点に集まる角の和が360°未満」であるためには、\(q=3\) でなければなりません。(\(q \geq 4\) だと、360°以上になってしまうので不適。), 正六角形の内角は120°です。 「1つの頂点に集まる面の数は3以上」なので \(q=3\) から考えますが…, これだと、「1つの頂点に集まる角の和が360°未満」という条件を満たしていません。ぴったり360°だと、立体を構成することができません。, つまり、正六角形 \(p=6\) のとき、条件を満たす \(q\) は存在しないことになります。, 更にこれから先を考えると、\(p\) が大きくなると内角も大きくなります。よって、\( p \geq 7\) だと \(q=3\) でも360°を超えてしまうので、条件を満たす \(q\) は存在しないことになります。, 故に、\(p \geq 6\) のとき、条件を満たす \(q\) は存在しません。, 以上から、条件を満たすのは、\((p,q)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)\)の5種類のみであることが証明できました。, 正多面体が5種類しか存在しないことは直観に反していますが、このように証明されました。, しかし驚くべき事に、この正多面体が5種類しか存在しないことは、紀元前3世紀頃に書かれたユークリッドの『原論』に記されています。今から2300年以上前にすでに分かっていたなんて、驚きですよね…。, 高校の授業でこの証明まで習うことは少ないかもしれませんが、ぜひ展開図を用いたエレガントな証明にも触れて、数学の面白さを知ってもらいたいです。, この多面体を語るうえで重要な「オイラーの多面体定理」というものがあります。高校数学で学習しますが、ほとんど入試で出題されないために忘れられている定理です。しかし、このオイラーの多面体定理もエレガントな証明があるので、ぜひご覧ください, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 多面体を語る上で重要な、オイラーの多面体定理を覚えていますか?高校数学で学習しますが、大学入試にはほとんど出題されないため、多くの受験生に忘れられている定理です。しかしオイラーの多面体定理の証明方法は独特で、高校数学で習う定理の中でも異彩を放っています。この記事では、オイラーの多面体定理の証明まで丁寧に解説します。, 感染率が0.01%の感染症で「陽性」と言われた。検査精度95%の場合、実際に感染している確率は?直感では、精度95%なのでかなり信頼できるような気がしますが、実際はどうなのでしょうか。きっと意外な答えになるはずです。計算方法から考察まで、丁寧に解説します。, 定義と定理…よく似た言葉ですが、違いをハッキリ説明できますか?中学校の図形の分野で定義と定理という言葉が出てきますが、意味を混同している人が多くいるようです。この記事では、定義と定理の違いの例を挙げながら、分かりやすく解説していきます。, クラスの生徒の誕生日を調べると、「誕生日が同じ二人組がいる!」ということがあります。1年間は365日もあるのに、誕生日が同じなんて珍しい!…と思うかもしれませんが、それは正しいのでしょうか?今回は、クラスに誕生日が同じ二人組がいる確率について、丁寧に解説しながら考えていきます。, 誰もが幼いころ、一筆書き問題に挑戦したことがあると思います。何度も試して答えを見つけるのは大事なことですが、もっと簡単に判断する方法があります。一筆書きができる図にはどのような特徴があるでしょうか。この記事では一筆書きができる条件を見つけるまでの考え方や過程を、証明付きで丁寧に解説していきます。, あみだくじは学校でよく使用されます。それは「あみだくじは公平である」と全員が思っているからです。しかし実はあみだくじは思い通りに操作できます。この方法を知っていれば、あみだくじの結果は担任の思い通りです。委員や席替えなどを決める際にあみだくじを使えば、いかにも公平にやっているかのように見せて自由に決めることができます。. 0000141518 00000 n 0000016480 00000 n 0000016677 00000 n 0000142373 00000 n 0000124432 00000 n 0000001507 00000 n 0000012444 00000 n

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