「文字を丸で囲む方法で... 「下のセルに移動しようとして下矢印キーを押したら、画面が下に行くんだ。」 練習問題を通して理解を深めよう 次の2次関数の最大値または最小値を求めよ (1)y=2x²-4x-1(ただし0≦x≦3) (2)y=-x²-4x(ただし-4≦x≦-1) ここでは、xの範囲が与えられた状態で2次関数の最大値・最小値を たとえば、工場での生産の実行時に、部門内の最も大きい給与の誤差率が最も高いユーザーを特定するとします。 範囲内の最小値または最大値を計算するには、いくつかの方法があります。, [ホーム] タブの [編集] グループで、[ 三角関数の合成が問題の中でよく使われるのは、最大値・最小 ... ここまで三角関数の合成とその例題について解説しました。三角関数の範囲 である加法定理や三角比など様々な知識を必要とする分野です。今までに習ったことをしっかりと確認して、自分の力で計算できるように演習を欠かさ はじめに 右図1のように,連立不等式 x ≧ 0 , y ≧ 0 , y ≦ −x+2 で表わされる三角形の領域において, y−x の取りうる値の範囲を求めたいものとする. y−x のままでは,単なる「式」で x も y も変るので分かりにくい. これを, y−x=k すなわち y=x+k とおくと「方程式」になり「直線」を表わす. (4)範囲は【 】である。 (5)平均値は【 】である。, データ分析の問題(特に、最大値、最小値、中央値などが問われる問題)では、まず、データを小さい順に並べることが基本です。問題のデータを小さい順に並べると、, いくつかの用語が出てきましたが、基本的には用語を日本語として、そのまま理解すればOKです。ただし、「中央値」については、少々注意が必要です。上の問題では、データの個数が5個(奇数)だったので、ズバリ真ん中のデータがありました。しかし、データの個数が6個のときなどは、前後のデータの真ん中の値(平均)が中央値です。例えば、, の場合は、7と8の真ん中が中央値、つまり、7.5が中央値になります(7+8)÷2。, 次の問題は高卒認定/高認本試験で出題された問題です。選択肢を見ると「最小値」「中央値」などが登場するので、まずはデータを小さい順に並べます。頭の中で考えずに、必ず紙に書いて解いてみてください。, ーー解説ーーまずは、上のデータを小さい順に書き並べます。単純なミスを防止するため、書き並べた後は、データ数が10個であることも確認しましょう。また、問題文に「誤っているもの」とあることに注意してください。, ※合計を計算するときは、端から順に計算するのではなく、一の位に着目して、合計が10になるものを組み合わせると効率的です。この問題では、「13と17」、「29と31」、「10と20」と組み合わせて計算すると楽です。計算済みのものは、2度計算しないように○などの印を付けておきましょう。, データ分析の問題では「最頻値」という用語も登場します。少し難しい用語ですが、これも日本語として、そのまま解釈すると「最も頻度の高い値」です。つまり、データの中で「最も多い値」です。次の問題を解いてみてください。, ーー解説ーーこれは、最大値や最小値、中央値が問われている問題ではないので、並び変えなくても大丈夫です。, 数学は出題パターンが決まっており、毎回類似問題が出題されます。数学は特に過去問での勉強が効果的です。, 高卒認定試験の過去問題6回分を掲載・解説。市販されている問題集の中で最も多くの過去問が掲載されています。しかも11月実施分の問題まで収録されている過去問題集は他にありません。解答解説は、基本事項にも触れながら丁寧に説明されているので、苦手科目の克服にも最適。価格は少々高めですが、自信をもっておすすめできる高認過去問題集です。, 平均値は、データの合計(=35)をデータの数(=5)で割ったものです。35÷5で「7」となります。, 「平均値」は、合計を計算してデータ数の10で割ります。合計は210なので、平均値は210÷10=21(正しい)ので、選択肢②は×, 「中央値」はデータを小さい順に並べたときの真ん中のデータ。ここでは、20と21の間になりますので、20.5です。よって、選択肢④は誤りなので、, まず、「平均値」を求めます。合計を注意深く計算しましょう。合計は22になります。データの数は20(試合)なので、平均は22÷20を計算して、1.1となります。この時点で、選択肢①は×、選択肢②も×です。. 最大値・最小値 あるデータ領域に格納されている整数データから最大値と最小値を求める副プログラムを作成する。 整数データは-32768~32767の範囲にあるものとする。 最大値を求める。 副プログラム … 三角関数の合成では上のようにsinθ、cosθ同士の和をsinだけにまとめることができます。sinθとcosθの和のままの場合、θの値によって2つの関数が変化しますが、合成することによって1つのsinの値であらわせるため、計算がより簡単になります。, また三角関数の合成には加法定理の知識が必要になります。はじめに加法定理について確認してから、三角関数の合成の証明に移りましょう。, 今回の合成の証明に用いるのはsinの加法定理のみなのでその項目に絞って解説します。, このことで加法定理では既に明らかになっているsin θとcosθの値から、角の和や差で表される角度についてもsin θ値を導きだすことができます。, この6つの式を加法定理と呼びます。合成の変形以外にも様々な面で必要になるのでぜひ覚えておきましょう。, 座標平面状にP(a,b)をとり、原点Oと点Pを結びます。このときのOPがx軸の正の向きとなす角をαとします。, この合成を用いる際の注意点として、それぞれsinθ、cosθの前についている係数は違っても構わないのですが、θにあたる部分は必ず同じでなければ合成を用いることはできません。自分で合成できるところを見つける際にはその点に気をつけて計算しましょう。, 証明ではsinθとcosθの和のみを扱っていましたが、この問題のように差を使った問題も出題されます。その場合は合成する際にも、差の公式を用いなければいけない点に注意しましょう。, 三角関数の合成が問題の中でよく使われるのは、最大値・最小値を求める問題です。ここでは合成を利用した最大・最小の問題をといてみましょう。, ここまで三角関数の合成とその例題について解説しました。三角関数の範囲である加法定理や三角比など様々な知識を必要とする分野です。今までに習ったことをしっかりと確認して、自分の力で計算できるように演習を欠かさずにしていきましょう。, 三角関数の合成は今までに習った知識を統合して、応用的な問題演習につなげていくための大切な公式です。またsinやcosの変形も必要なのでしっかりと方法を理解している必要があります。今回はそんな三角関数の豪勢について解説します。, $$\begin{align}a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}ただし、\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align}$$, $$\begin{align}a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)\end{align}$$, $$\begin{align}ただし、\sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align}$$, $$\begin{align}\sin (α+β)=\sin α\cos β+\cos α\sin β\end{align}$$, $$\begin{align}\sin(α-β)=\sin α\cos β-\cos α\sin β\end{align}$$, $$\begin{align}\cos(α+β)=\cos α\cos β-\sin α\sin β\end{align}$$, $$\begin{align}\cos(α-β)=\cos α\cos β+\sin α\sin β\end{align}$$, $$\begin{align}\tan(α+β)=\frac{\tan α-\tan β}{1+\tan α\tan β}\end{align}$$, $$\begin{align}\tan(α-β)=\frac{\tan α+\tan β}{1-\tan α\tan β}\end{align}$$, $$\begin{align}OP=\sqrt{a^2+b^2}\end{align}$$, $$\begin{align}またOP=\sqrt{a^2+b^2}を用いて、三角関数の定義より\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align}$$, $$\begin{align}a=\sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha, b=\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha\end{align}$$, $$\begin{align}これらをa\sin\theta+b\cos\thetaに代入します。\end{align}$$, $$\begin{align}a\sin\theta+b\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha*\sin\theta+\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha*\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{a^2+b^2}についてまとめて、\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{a^2+b^2}(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}(1)\sin\theta+\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}(2)\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}a\sin\theta+b\cos\theta→\sqrt{a^2+b^2}\end{align}$$, $$\begin{align}\sin\theta+\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta)\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{2}(\sin\theta*\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos\theta*\frac{1}{\sqrt{2}})\end{align}$$, $$\begin{align}この問題ではsinα=\frac{1}{\sqrt{2}},cosα=\frac{1}{\sqrt{2}}であるため、\end{align}$$, $$\begin{align}\alpha=\frac{π}{4}です(0≦α≦2π)。\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{2}(\sin\theta\cos\frac{π}{4}+\cos\theta\sin\frac{π}{4})\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{π}{4})\end{align}$$, $$\begin{align}まずは(1)と同じく\sqrt{a^2+b^2}を導きます。\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{3}\sin\theta-\cos\thetaより\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{3+(-1)^2}=\sqrt{4}=2\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta)\end{align}$$, $$\begin{align}=2(\sin\theta*\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos\theta*\frac{1}{2})\end{align}$$, $$\begin{align}\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos\alpha=\frac{1}{2}\end{align}$$, $$\begin{align}\alpha=\frac{π}{6}\end{align}$$, $$\begin{align}加法定理\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betaより\end{align}$$, $$\begin{align}2(\sin\theta*\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos\theta*\frac{1}{2})\end{align}$$, $$\begin{align}=2(\sin\theta\cos\frac{π}{6}-\cos\theta\sin\frac{π}{6}\end{align}$$, $$\begin{align}=2sin(\theta-\frac{π}{6}\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta=0を解け。ただし0≦θ≦2πとする。\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta=0\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{1+3}\sin(\theta-\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}=2\sin(\theta-\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}\sin\alpha=-frac{sqrt{3}}{2}, \cos\alpha={1}{2}\end{align}$$, $$\begin{align}\alpha=\sqrt{5}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}0+\sqrt{5}{6}π≦θ+\sqrt{5}{6}π≦2π+\sqrt{5}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{5}{6}π≦θ+\sqrt{5}{6}π≦\sqrt{17}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}2\sin(\theta-\sqrt{5}{6}π)=0\end{align}$$, $$\begin{align}\theta-\sqrt{5}{6}π=π,2π\end{align}$$, $$\begin{align}\theta=π+\sqrt{5}{6}π, 2π+\sqrt{5}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}\theta=\sqrt{11}{6}π, \sqrt{17}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sin x+\cos xの最大値・最小値を求めよ。ただし0≦x≦πとする。\end{align}$$, $$\begin{align}はじめにy=\sin x+\cos xを合成して\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sin x+\cos x\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sqrt{2}\sin(x+\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha=\sqrt{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin\alpha=\sqrt{1}{\sqrt{2}}\end{align}$$, $$\begin{align}\alpha=\frac{π}{4}\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{π}{4})\end{align}$$, $$\begin{align}xに角度x+\frac{π}{4}を代入して\end{align}$$, $$\begin{align}0+\frac{π}{4}≦x+\frac{π}{4}≦π+\frac{π}{4}\end{align}$$, $$\begin{align}\frac{π}{4}≦x+\frac{π}{4}≦\frac{5}{4}π\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{π}{4})のとる最大値の範囲を求めると\end{align}$$, $$\begin{align}-\frac{\sqrt{2}}{2}≦\sin(x+\frac{π}{4})≦1\end{align}$$, $$\begin{align}よってy=\sqrt{2}\sin(x+\frac{π}{4})の最大値・最小値はそれぞれ\end{align}$$, $$\begin{align}最大値\sqrt{2}のとき\end{align}$$, $$\begin{align}\sin(x+\frac{π}{4})=1より\end{align}$$, $$\begin{align}x=\frac{π}{4}\end{align}$$, $$\begin{align}\sin(x+\frac{π}{4})=-\frac{\sqrt2}{\sqrt2}より\end{align}$$, 最高の学習をもっと身近に、どこでも。スタモ編集部は、大学受験や日々の勉強に役立つ記事を発信しています。予備校講師や塾講師の経験のある東大、京大、早慶の卒業者メンバーが中心に、どこよりも詳しく、どこよりも丁寧な内容をお届けいたします。, 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