ブログを報告する. 実際に1次の常微分方程式を解く。 基本 次のような1次の常微分方程式を考える。 このような常微分方程式に対して、ある種の数値解法の公式は漸化式の形で表される。 いま、次のような記法を導入する。 ここで、は一般には整数であるが、便宜上は非整数を使ってもよい。 常微分方程式を解く方法(2)修正オイラー法 ⇒ みっくみく (08/26) Excel VBAで二分法を計算してみる。 ⇒ daiki (06/24) 常微分方程式を解く方法(2)修正オイラー法 ⇒ ケイコとまなぶ (06/12) 常微分方程式を解く方法(2)修正オイラー法 ⇒ 桃医 (01/11) 8.1. 逆関数や合成関数を含む微分公式の証明、ε-n論法、ダランベールの判定法、高次導関数、ロルの定理、(コーシーの)平均値の定理、ロピタルの定理、2回微分による変曲点を含んだ関数のグラフ、そしてようやく「曲線の近似式」へと至ることになったのだった。 | 数値積分 4 だから一次オイラー法は xn+1 = xn +f(xn;tn)∆t と書ける。 図から明らかにx= x(t)の曲線がまっすぐ(tの一次関数)でない限り、一次 オイラー法には誤差がある。微分方程式(8.7) を積分すると 常微分方程式は、一般にdy/dx=f(x,y)…��の形で表すことができます。そこで、x座標を刻み幅hになるように分割し、分割した点に番号iをつけて、xiと表記することにします。xiにおいては、xi+1 = xi +hが成立します。今、xiにおけるyの値をyi,xi+1におけるyの値をyi+1として、テイラー展開の公式より、次式を得ることができます。yi+1 = yi + h*yi’+(h^2/2)*yi''+…��ここで、dy/dx = y'(x) = f(x,y)を代入すると、yi+1 = yi + h*f(xi,yi) +(h^2/2)*f'(xi,yi)+…��となります。h^2<<1であれば、右辺3項以降を無視できるはずです。そこで、yi+1 = yi + h*f(xi,yi)…��と近似することで、理論的な近似解を定めることが可能なはずであり、この�ぜ阿�ら微分方程式の近似解を求めることをeuler(オイラー)法と呼びます。さっそく下記の微分方程式を解きましょう。例) dy/dx = y,y(0) = 1解は変数分離で簡単に確認できると思います。∫dy/y = ∫dxより、log(y)=x+C 初期条件を考慮すると、x=0のとき、y=1より、Cは0となり、y = exp(x)であることが確認できると思います。これをeuler 法で解きながら誤差を調べてみようと思います。hは0.01とすると各xi,yiの値の組は下記の計算の通りになります。x0 =0y0 =1x1 = x0 + 0.01 = 0.01y1 = y0 + h*y0' = y0+ h*y0 = 1+ 0.01*1 =1.01x2 = x1 + 0.01 = 0.02y2 = y1 + h*y1 = 1.01+0.01*1.01;;書きならべてみますとアルゴリズムの構造が見えてきますよね。早速プログラムにしてみましょう。Sub main()Dim i As LongDim x, y As SingleDim ob1 As ObjectSet ob1 = Application.ThisWorkbook.Worksheets("Sheet1"), i = 0x = 0y = 1ob1.Cells(1, 1).Value = "xi"ob1.Cells(1, 2).Value = "yi"ob1.Cells(1, 3).Value = "理論値"ob1.Cells(1, 4).Value = "誤差", Doi = i + 1x = x + 0.01y = y + 0.01 * yob1.Cells(1 + i, 1).Value = xob1.Cells(1 + i, 2).Value = yob1.Cells(1 + i, 3).Value = Exp(x)ob1.Cells(1 + i, 4).Value = Abs(Exp(x) - y)Loop While x <= 1, End Sub<実行結果>今回、実行したプログラムの範囲ではあまり大きな誤差が生じていませんが、誤差の傾向をまとめた三つ目のグラフをみますと、二次関数的な増加傾向が気になるところでしょう。もう少し、いい方法はないのでしょうか?そこで、次回の数値解析では、オイラー法を改良した方法について説明したいと思います。, Excel VBAを利用して数値解析を行うブログです。ご意見、ご感想などを随時受け付けております。さまざまな数値解析用ソースコードを紹介し、皆様の役に立てることをお祈ります。, PART7:BMIを計算しよう!If~End Ifを用いたプログラムを書いてみる。. 驚くべきは、数学はその本性により、民主主義的だということだ。・・数学の資源と数式は、すべての人に同じように理解され、等しくみんなのものになる。数学的知識は誰にも独占できない。数学的概念や数式を、自分の発明品だと主張することは誰にもできない。数式では特許は取れない。エドワード・フレンケル『数学の大統一に挑む』文藝春秋2015年, 「n→∞のとき(剰余項)→0なら、関数f(x)はマクローリン展開できる」オイラーの公式に至るには、ここが山場になる。, とはいえ、ここに来るまで、実は小さな峠をいくつか越えなければならない。なにせ、モンモは文系である。高3で昔の「数Ⅲ」、受験は「数ⅡB」まで、大学1年で「解析入門」を勉強したものの、以来長いブランクがあった。, 剰余項の処理をめぐって、「どうするんだっけ」と微分の道を遡っていくうちに、逆関数や合成関数を含む微分公式の証明、ε-N論法、ダランベールの判定法、高次導関数、ロルの定理、(コーシーの)平均値の定理、ロピタルの定理、2回微分による変曲点を含んだ関数のグラフ、そしてようやく「曲線の近似式」へと至ることになったのだった。, 上記の各項目を全て学習しなくても、それなりに必要な項目だけつまみ食いをして、「オイラーの公式」にはたどり着く。しかし、それじゃあ、オイラーに失礼というものだろう、と「オイラ」は思ったのだ。, なので、いくつかの練習問題をこなしつつ、身体「筋肉」を使った。「脳みそは筋肉である」という持論に忠実に、「筋肉」を鍛えようと思ったのだ。「訓練しなければ、筋肉は衰える」, 最初の関門は「ε-N論法」。「ε-N論法」は、後で出てくる「ダランベールの判定法」の証明に使うので先に載せておきましょう。, という定義を使った証明法なのだが、いきなりではなんのことか分からない。具体的に簡単な問題で紹介すれば次のように使う。高校数学だと、分子分母をn(の二乗)で割るなどしてn→∞にした処理をしてしまえばそれで終わるが、厳密にはこのような証明に使うというのだ。, 「ε-N論法」は「数列の極限」だけでなく、上記と全く同じではないが「関数の極限」「関数の連続性」でも証明に使われる。このブログではオイラーの公式に特化するので「数列の極限」についてだけにとどめておきましょう。これを使う証明は、感覚的になじみにくいのでいくつかの問題をこなした方が身につくと思うので、もう一つ簡単な例題を載せておきます。, 「オイラーの公式」記事を続けると、数学にはなじみの薄い方には申し訳ないので、とりあえずは「自然科学」のカテゴリーにしておきますが、後日、別カテゴリーを用意するので、そこにまとめて読めるようにしていきます。, なので、通常記事を織り交ぜて、なるべく数学記事は連載とならないように書いていきたいと思っています。, monmocafeさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか?, Powered by Hatena Blog

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